三角形の合同条件の表現ってなぜこの3つなの?

前回の記事「合同な図形の対応する角の答え方は対応順ってどういうこと?」では、「対応する」って言葉について説明しました。

証明では「対応する」という言葉を結構よく使います。

そうやって書くものだと覚えておくとすぐ忘れてしまいますし、覚えていても書く理由が分からないければ答案に書き忘れるということにもなりかねません。

最終的には証明問題で満点がとれるようになりたいので、言葉が少し違う、書き忘れているということで減点にならないように意味も理解しておきましょう。

なんとなく書くのはだめですよ。

今回は三角形の合同条件について考えていきます。

三角形の合同条件って覚えていますか?

なんとなーく言えるって子が意外と多いと思います。

まずはしっかり合同条件を覚えましょう。

三角形の合同条件の表現の仕方は?

早速合同条件3つを見ていきましょう!
覚えていますか-?
まずは書き出してみますね。

  1. 3組の辺がそれぞれ等しい。
  2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
  3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

覚えていますか?
中2で習う内容ですが、初めのうちはよく「それぞれ」を書き忘れてしまうので書き忘れないようにしましょう。

言葉が少し違うと減点されることがあるので1)特に定期考査では厳しく採点されることが多いと思います。、三角形の3つの合同条件は丸暗記しないといけないのですが、なんでそうなるのかな?って少し考えてみると楽に覚えられると思います。
この3つの合同条件は、昔いた数学のすごい人が「三角形の合同条件はこの3つの合同条件にしよう!」と言ったいうことで決まったものではないはずですよね。
条件を満たす2つの三角形があればその2つの三角形は必ず合同だといえちゃいます!

それではなぜ合同条件がその3つになるのでしょうか。

三角形の合同条件の証明は?

「2つの三角形が合同条件を満たす→2つの三角形は合同」といえるのはなぜなのか?
なぜあの3つの条件が合同条件に採用されたのか考えていきます。

それでは、これらの3つの条件と違った条件では合同とは言えないのか?を考えてみましょう。

例としてこんな条件を設定してみました。

「1組の辺と2組の角がそれぞれ等しい」
2組の角が両端の角にならない時を考えてみます。

2組の角が等しいということは3組の角が等しいということになってしまうので、1辺を5cm他の角度を40°、80°、60°の三角形を書いてみます。

その条件で書いてみると、上のように3つの三角形を書くことができました。
これら3つの三角形は相似2)形は一緒で大きさが違う図形のことです。の関係にありますが、見た目にも分かるくらい大きさが違う三角形になってしまいました。
つまり、「1組の辺と2組の角がそれぞれ等しい」という条件に当てはまる2つの三角形があったとしても、合同だとは言えないということになります。

「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」という条件に変えると話が変わってきますね。

例えば1辺が5cmでその両端の角が60°、40°の三角形を考えると、上の図中の△ABC(一番左)の三角形になり3)△ABCの裏返った形にもなります。裏返して重なるものは合同な図形でしたよね!他の二つの三角形△DEFや△GHIにはならないことがわかります。

その条件を満たせば1つの三角形だけを書くことができるためこの条件が合同条件だといえますね!

三角形の合同条件ってなぜこの3つなの?

小学生の時に三角形の作図をしましたよね?
覚えていますか?
定規とコンパスと分度器を使ってしましたよね。
問題文に書いてある指示(条件)にしたがってそれを満たすものを作図していたと思います。
もし以前の教科書や問題集があれば見返してみると分かると思いますが、合同条件と同じ場所が条件として指定してあるはずです。

なぜ合同条件と同じ場所が条件として指定されるのかというと考えてみれば当然です!

先生が採点をしましたよね?
採点って答えがないとできませんよね!
問題文の条件を満たした三角形がいくつも書けてしまったら先生の作業が大変です!
だから1つの三角形しか書けないように問題を作るわけです。

1つの三角形しか書けない条件→合同条件となります。

言葉は丸暗記をするべきだけど本当の意味で丸暗記するのはきついし忘れちゃいますよ。
だから先に1つの三角形しか書けない条件を図などで覚えてそれを言葉に書き換える方が絶対に楽です。
図などで位置関係を把握していると証明の時もあとどこの辺(角)が分かれば合同と言えるか見つけやすくなります。
図で場所だけ覚えるだけなら意外と簡単ですよ。

 

 

こんな感じでまずはどこが一緒であれば良いか覚えちゃいましょう。
丸暗記だけすればいいような感じで教わることもあると思いますが直感的にでも正しいと思えるようにしておくと覚えるのも楽だし忘れにくくなりますよ。
せっかく覚えるなら忘れないように覚えましょうね!

まとめ

三角形の合同条件についてでした。

  1. 3組の辺がそれぞれ等しい。
  2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
  3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

これらの合同条件はこのままきちんと覚えておきましょう。
きちんと図形で辺と角の位置関係を把握してから覚えてくださいね。
丸暗記するよりも効率がいいと思います。

特に「それぞれ」という言葉は要注意です!
よく忘れるので意識して覚えましょうね!

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References   [ + ]

1. 特に定期考査では厳しく採点されることが多いと思います。
2. 形は一緒で大きさが違う図形のことです。
3. △ABCの裏返った形にもなります。裏返して重なるものは合同な図形でしたよね!