方程式の解の意味って?代入して計算すればいい?

方程式の解って何でしょうか?

実際に方程式を解いて解を出すことはできても、解って何って聞くと「???」となる子は意外とたくさんいます。

方程式を解いて解を出すことはできるのだけど、改めて解って何?って聞かれると結構わからないものです。

方程式の解はそれを理解している子たちよりもなんとなく\(x=1\)みたいな形にすればいいと思っている子たちのほうが多い気がします。

今回は方程式の解についての記事になります。

方程式の解の意味って??

方程式の解の意味って何でしょうか?
方程式の単元では主にその解き方を習いますよね。
言ってしまえば、\(x=1\)のような形が解だと思っていませんか?
実際そんなイメージの子のほうが多いと思うのですが、結局解とは何を示しているのでしょうか?

結論から言うと、方程式の解とは、ある数を代入したときに<左辺>=<右辺>を成り立たせる数のことをいいます。
これだけでは分かりにくいので、実際に例を見ていきましょう。

<例題>
次の方程式を解きましょう。
\(4x+1=2x-7\)

とりあえず解いてみますね。
\(2x=-8\)
\(x=-4\)となりました

\(x=-4\)が解ということになりました。
これが解であるためには、この数を代入して<左辺>=<右辺>が成り立てばいいということです。

それでは左辺から代入してみましょう。
<左辺>\(=4\times (-4)+1\)
\(=-15\)となりました。

それでは同様に右辺にも代入してみます。
<右辺>\(=2\times (-4)-7\)
\(=-15\)

これで左辺と右辺が等しいということが分かりました。
よってこの方程式の解は\(x=-4\)ということがいえます。

当たり前といえば当たり前かもしれませんが、きちんと理解しておきましょう。
方程式の解とは、方程式に代入したときに左辺と右辺が等しくなるものという意味です。

方程式に代入して計算

さらに例題を見ていきますよ。
<例題>
次の方程式のうち\(x=2\)を解とする方程式を選びなさい。
①\(3x+1=4\)
②\(-2x+3=4x+7\)
③\(4x=7x+6\)
④\(3x-2=2x\)

それでは早速解いてみましょう。
読み進める前に例題を解いてみてくださいね。

どれが\(x=2\)かわかりましたか?
①\(3x+1=4\)
\(-x=-1\)
\(x=1\)

解が\(x=1\)だから\(x=2\)は解ではないと考えませんでしたか?
この問題の意図って実はちょっと違うんです。
学校のワークで方程式の始めの方にある問題です。
本来は普通に解きましょうというのとは違う意図があります。
つい解きたくなっちゃうのですが、方程式として解かずに答えを出します。

①左辺に\(x=2\)を代入する。
<左辺>\(3\times 2 +1\)
\(=7\)
右辺\(=4\)なので<左辺>\(\neq\)<右辺>となるので、\(x=2\)は解でないと言えます。

左辺と右辺が等しいか確認が大事!

ある数が解かどうかを確認するためにはその数を代入して<左辺>=<右辺>が成り立つかを考えます。
<左辺>と<右辺>が等しければ解、等しくなければ解ではないということが言えます。

残りの問題も解いてみましょう。
②の左辺に\(x=2\)を代入します。
<左辺>\(=-2\times 2+3\)
=-1
<右辺>にも代入します。
<右辺>\(=4\times 2+7\)
\(=15\)
<左辺>\(\neq\)<右辺>となるので\(x=2\)は解でないと言えます。

③の左辺に\(x=2\)を代入します。
<左辺>\(=4\times 2\)
\(=8\)
<右辺>にも代入します。
<右辺>\(=7\times 2 +6\)
\(=20\)
<左辺>\(\neq\)<右辺>となるので、\(x=2\)は解でないと言えます。

④の左辺に\(x=2\)を代入します。
<左辺>\(=3\times 2-2\)
\(=4\)
右辺にも代入します。
<右辺>\(=2\times 2\)
\(=4\)
<左辺>\(=\)<右辺>となったので\(x=2\)が解だとわかりました。

よって④の解だけが\(x=2\)だとわかりました。

この問題では解を出すことが求められていないので単純に代入すればOKです。
方程式の解とは代入したときに<左辺>\(=\)<右辺>が成り立つものだとイメージできていれば代入する方法を思いつきやすいと思います。
ただ次のような問題ではきちんと代入しないと解くことができません。

<例題>
\(2x-5=3x+a\)が\(x=3\)を解に持つとき\(a\)の値を求めましょう。

この問題が解けない場合は、方程式の解が何かということが分かっていないということです。
方程式の解は方程式に代入したときに<左辺>\(=\)<右辺>を成り立たせるものでしたね。

つまりこの場合も方程式の解を代入すれば<左辺>\(=\)<右辺>が成り立つということになります。
\(x=3\)を代入すると
\(2\times 3-5=3\times 3+a\)
\(6-5=9+a\)
左辺と右辺を入れ替えて、
\(9+a=6-5\)
\(a=-8\)
となります。

方程式の解が何かわかっていれば結構すんなり解くことができますよ。

まとめ

方程式の解とは何かについて考えました。

方程式の解は方程式に代入したときに<左辺>\(=\)<右辺>が成り立つものだときちんと覚えておきましょう。

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