平方完成の係数がマイナスや分数やルートの時の仕方

係数が整数の場合は平方完成しやすいのですが、係数が分数やルートなどイメージしにくい数字が入ってくると急にやりづらくなってしまします。

計算途中に分数がでてきた途端にやりたくなくなりますよね。

今回の記事では平方完成がするのがやりにくい式の平方完成をしていってみたいと思います。

平方完成の係数がマイナスの時の仕方

平方完成のやり方そのものが分からない時はこちらで平方完成の仕方をみてみたくださいね!

https://mocomoko.com/1962.html

平方完成のやり方が分かればちょっとやりにくそうな平方完成をやっていってみましょう!
まずは\(x^2\)の係数が負の数であるときの平方完成をしてみます。
例題をやってみましょう。
<例題>
平方完成しましょう。
\(-x^2+4x-5\)

まずは\(x^2\)の係数を確認します。
係数が\(-1\)なので\(x^2\)の係数が\(1\)になるように、\(x^2\)の項と\(x\)の項を\(-1\)でくくります。
\(-(x^2-4x)-5\)

次にカッコ内を2乗でくくります。
\(-\{ (x-2)^2-4\} -5\)

つぎに中カッコをはずし計算します。
\(-(x-2)^2-1\)
となります。

やり方はやりにくい数字でも変わらないのでいつも同じように平方完成すればバッチリですよ。
次は係数が分数の場合をやってみましょう。

平方完成の係数が分数の時の仕方

係数が分数の時って平方完成のレベルが上がります。
実際にはそんなに難しくなったわけではないのですが、係数が分数の場合って気持ちの上でちょっと憂鬱になりやすいですよね。
めんどくさいなぁというのは、分からなくはないのですが、やり方は全く変わりません!
今までと同じように平方完成をしていきましょう。
それでは例題をしてみましょう。

<例題>
平方完成をしましょう。
\(\frac{3}{7}x^2+\frac{2}{5}x+1\)

毎回同じですが、まずは\(x^2\)の係数から見ていきます。
\(x^2\)の係数が\(1\)でないので、\(x^2\)の係数が\(1\)になるようにくくりましょう。
\(x^2\)の項と\(x\)の項を\(\frac{3}{7}\)でくくります。
\(\frac{3}{7}(x^2+\frac{14}{15}x)+1\)となります。

次にカッコ内を2乗でくくりましょう。
\(\frac{3}{7}\{ (x+\frac{7}{15}x)^2-\frac{49}{225}\} +1\)

中カッコを外します。
\(\frac{3}{7}(x+\frac{7}{15}x)^2+\frac{68}{75}\)
数字を適当に設定したのでややこしくなってしまいましたね。
平方完成をしてできた式を見てみると難しい漢字ですね。
でも、する事は一緒でしたよね。

始めに\(x^2\)の項の係数を確認して、係数があればそれでくくり、あとは普通に平方完成。
数字がややこしくてもやり方は変わらないので落ち着いて計算するようにしましょう。

次は係数にルートが付いている式を扱ってみましょう。

平方完成の係数がルートの時の仕方

\(x^2\)の係数がルートである式の平方完成をしてみましょう。
<例題>
平方完成をしましょう。
\(\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}x+2\)

\(x^2\)の係数が\(\sqrt{2}\)なので、\(x^2\)の項と\(x\)の項を\(\sqrt{2}\)でくくります。
\(\sqrt{2}(x^2+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}x)+2\)

カッコの中を平方完成します。
\(\sqrt{2}\{ (x+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})^2-\frac{3}{8}\} +2\)

中カッコをはずします。
\(\sqrt{2}(x+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})^2-\frac{3\sqrt{2}}{8}+2\)
\(=\sqrt{2}(x+\frac{\sqrt{6}}{4})^2-\frac{3\sqrt{2}}{8}+2\)
これで平方完成ができました。
ルートを係数にしてみましたが仕方は係数が整数の時とも違いはありませんね。

色々な数字をいれてめんどくさそうな平方完成をしてきました。
ただ結局のところは\(ax^2+bx+c\)の平方完成ができればどんな二次方程式や二次関数の式を平方完成する事ができるということが言えます。
それでは\(ax^2+bx+c\)の平方完成をしてみましょう。

\(ax^2+bx+c\)の平方完成の仕方

\(x^2\)の係数\(a\)でくくります。
\(a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\)

次にカッコの中を平方完成します。
\(a\{ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\} +c\)となりました。
次に中カッコをはずします。

\(a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c\)

平方完成が出来ましたね!
この平方完成ができれば文字を含む式や分数やルートを含む式の平方完成もばっちりできると思いますよ

まとめ

少しややこしい二次式の平方完成をしました。
数字がややこしなっても、難しく見える式も同じように平方完成できました。
見た目が難しくてもきちんと手順を踏んですれば平方完成する事が出来ます。
易しい数字の式で構わないのでしっかり平方完成することができるようにしましょう。

平方完成は解の個数を調べたり、最大値や最小値、軸の方程式や頂点の座標が求められたりとなかなかに役に立つものです。
まずは平方完成ができないと使いようがないので正確に平方完成ができるようにしてくださいね。

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